как вывести павлиний глаз

Ничего особенного нету, кроме того что нужно гусеницу найти, что впрочем и для остальных бабочек характерно Найти гусеницу на растении которое она ест, кормить в садке тем же растением, после окукливания бабочка вылупляется почти сразу, зимовка куколке не нужна.

  подскажите как в домашних условиях вывести нашу отечественную бабочку дневной павлиний глаз ? Может есть какая-нибудь специфика?

Да я думаю никакой специфики тут нет (если Inachis io имеете в виду). Если в средней полосе:
собираете в июне, на крапиве (обычно они живут скоплением) таких гусениц как изображена на снимке, на крапиве выкармливаете (куколка изображена здесь и во второй половине лета у вас бабочка
Сам я не выводил его ни разу за ненабностью (полно в природе у нас летает): поэтому только предположение. Может кто и еще чего присоветует.
Гусеница:

Картинки:

Inachis_io.JPG — (180.96к)   

Я в школьные годы из целой кладки яиц разводил,только не павлиний глаз,а крапивницу.По биологическим особенностям,эти два вида нимфалид - схожи.
Наткнулся весной на самку крапивницы,которая откладывала яйца на крапиву - яйца откладывают на нижнюю сторону листьев...поэтому,если будете искать яйца - ищите там.Яйца,по цвету,светло-зеленые...круглой формы...мелкие.Перед выходом гусениц - темнеют,становятся сероватыми.
Яйца пролежали около 5-7 дней - потом дождался гусениц.Вышло около 70% из всей кладки.
При активной кормежке - линяют быстро.По поводу кормежки - нужно,перед закладкой свежего корма,опрыскать его водой из обычной "пшикалкой"=)
Этим вы даете определенную влагу в садке,где будут жить гусеницы и предоставляете им питье - так как,особенно после линьки,гусеницы с охотой "окунают" свои головы в капельки воды,которые они находят на кормовых растениях.
После третей линьки,если гусениц много,лучше их разделить на пару групп...особенно,отберите в отдельную группу тех гусениц,которые менее активны или меньше по размеру,чем остальные.
С окукливанием проблем нету.В стадии куколки давайте гусеницам влагу - той же "пшикалкой" опрыскивайте куколки раз в день.
Вроде все)

Возможно ли провести у Inachis io ручное спаривание?

Нет, так же как и у других нимфалид. Парусники, сатурнии - пожалуйста, открытый половой аппарат.

собираете в июне, на крапиве (обычно они живут скоплением) таких гусениц как изображена на снимке, на крапиве выкармливаете (куколка изображена здесь и во второй половине лета у вас бабочка
Все правильно пишет Василий найдите хорошие заросли крапивы ,обычно кормятся шт 50 гусениц а может больше.Бывало я видел два вида пировали на
крапиве.